2. Решетка и субрешетка

Мы приняли, что в элементарную ячейку Решетки входят объекты двух типов (далее эти объекты будут называться узельниками). Элементарными дефектами такой структуры будут междоузельные объекты и вакансии (незанятые узлы) двух типов. Будем считать, что дефекты таких типов являются u- и d-кварками и соответствующими антикварками. Причем кварками являются вакансии, а антикварками — междоузельники. Такой выбор связан с фактом преобладания вещества над антивеществом (более подробно мы обоснуем это ниже). Характер взаимодействия между узельниками таков, что энергетически выгодно образование комплексов из трех однородных дефектов — тривакансий, тримеждоузельников — либо связанных пар "вакансия-междоузельник". Далее мы будем обозначать междоузельные дефекты двух типов буквами A и B, а вакансии такими же перечеркнутыми буквами A/ и B/, причем u-кварку соответствует обозначение A/.

Потенциалы взаимодействия узельников можно разбить на две составляющие — короткодействующую и дальнодействующую. Короткодействующая носит, по-видимому, многочастичный характер и почти одинакова для узельников обоих типов. При достаточно малых расстояниях между узельниками она должна быть отталкивательной. Дальнодействующая часть имеет зависимость от расстояния, близкую к обратно пропорциональной. Эта часть зависит от типа взаимодействующих узельников: между узельниками разных типов существует притяжение, между однотипными узельниками — отталкивание. Причем энергия отталкивания между узельниками типа А вчетверо превышает таковую для узельников типа B и вдвое превышает энергию притяжения разнородных узельников.

Постоянная решетки, то есть расстояние между ее ближайшими эквивалентными точками, является одной из главных характеристик кристаллической структуры и имеет фундаментальное значение при рассмотрении движения дефектов этой структуры. Говорить о перемещении дефекта можно лишь тогда, когда он смещается на расстояние не меньшее, чем постоянная решетки, иначе речь может идти лишь о его колебаниях около некоторого среднего положения. Поэтому, согласно нашей гипотезе, расстояния меньшие, чем постоянная Решетки, для физических тел не имеют смысла.

Для того чтобы оценить величину постоянной Решетки, обратимся к данным квантовой теории поля. Уже при описании электромагнитного взаимодействия элементарных частиц становится невозможным рассматривать их как изолированные объекты. Для корректного описания их поведения вводится (фактически вопреки принципу относительности) понятие физического вакуума — некой среды, заполняющей все пространство, в которую частицы погружены и через посредство которой они взаимодействуют. В квантовой электродинамике физический вакуум рассматривается как непрерывный континуум. Полученные при этом результаты хорошо согласуются с экспериментальными данными, единственной серьезной проблемой оказываются так называемые "ультрафиолетовые расходимости".

Суть этой проблемы заключается в том, что удельная (приходящаяся на единицу объема) энергия физического вакуума оказывается бесконечной. Поскольку физический вакуум представляется как непрерывный континуум, то в нем возможны колебания на всех частотных модах и каждая мода обладает некоторой конечной удельной энергией. Для того чтобы сумма по бесконечному количеству мод была конечной, требуется, чтобы энергия каждой моды убывала с ростом частоты ω быстрее, чем 1/ω. В квантовой механике эта энергия, наоборот, растет пропорционально частоте. При расчетах проблему "ультрафиолетовых расходимостей" преодолевают математическим приемом перенормировки: удельная энергия вакуума, какой бы она ни была, принимается за начало отсчета, а энергетика всех процессов считается от этого уровня. Однако попытки применить такой прием к частицам, обладающим сильным взаимодействием, дают результаты, не согласующиеся с экспериментом даже качественно. Как утверждает М. Кройц [12], в настоящее время существует практически единственный способ корректного описания таких частиц — рассмотрение их взаимодействия на пространственно-временных решетках. В то же время автор считает, что введение решетки представляет собой не более чем математический прием, поскольку экспериментально не обнаружены какие-либо отклонения от непрерывной симметрии взаимодействия элементарных частиц. Введение пространственно-временной решетки позволяет также устранить естественным образом "ультрафиолетовые расходимости", так как в кристаллах частотный спектр ограничен сверху некоторой предельно возможной частотой, называемой дебаевской.

Как уже было сказано, после этого остается только признать, что за пространственно-временными решетками стоит объективная реальность. Описать движение сильно взаимодействующих частиц исходя из представлений о непрерывном пространстве-времени не удается потому, что оно в реальности дискретно. Возможную причину того, что пока не обнаружено отклонений от непрерывной симметрии взаимодействия частиц, мы обсудим позже.

Оценим величину постоянной Решетки. Электромагнитные взаимодействия поддаются описанию в модели непрерывного континуума потому, что они происходят на других пространственно-временных масштабах, нежели сильные. Характерный масштаб сильного взаимодействия (взаимодействия кварк-кварк) имеет порядок 10⁻¹⁵ см; характерный радиус электромагнитного взаимодействия обычно принимается бесконечно большим, однако реально оно происходит для элементарных частиц на расстояниях порядка размеров атома, то есть 10⁻⁸ см. Если процесс взаимодействия происходит в пространственном масштабе, намного превышающем постоянную решетки, то дискретностью можно пренебречь и представить кристалл сплошной непрерывной средой. В физике твердого тела учитывать дискретность кристалла обычно начинают тогда, когда размер рассматриваемой области не превышает нескольких сотен постоянных решетки. Тот факт, что взаимодействие частиц, составляющих атомные ядра, невозможно описать в модели непрерывного континуума, говорит о том, что характерный радиус сильных взаимодействий (около 10⁻¹⁵ см) ненамного превышает постоянную Решетки эфира. По приведенным выше оценкам, она составляет около 10⁻¹⁷ см.

Постоянную Решетки можно оценить и другим способом. Существуют экспериментальные данные, что скорость света в вакууме зависит от частоты электромагнитной волны [5, 13, 14], причем эта зависимость является монотонно убывающей. В области низких частот этот эффект почти не проявляется, но с повышением частоты становится все заметнее. Следовательно, должна существовать частота, для которой скорость распространения электромагнитных волн обратится в нуль. Такой частоте должна соответствовать некая предельно малая длина волны λ_min. Подобная зависимость скорости распространения колебаний от их частоты характерна для кристаллических тел. Из анализа экспериментальных данных [14] было получено значение λ_min ~ 10⁻¹⁷см. Если предположить, что такое поведение скорости света связано с наличием у вакуума кристаллической структуры, то λ_min должна быть равна удвоенной постоянной Решетки. Таким образом оценки постоянной Решетки двумя различными способами хорошо согласуются друг с другом.

Предельно малой длине волны в кристаллических структурах соответствует максимально допустимая — дебаевская — частота колебаний. Сделаем оценку сверху для этой частоты, используя максимальное значение скорости света: ω_D ~ c/λ_min ~ 10⁻²⁷c^-1. Дебаевской частоте соответствует характерное время колебаний объектов, находящихся в узлах Решетки τ = 1/ω_D ~ 10⁻²⁷c. При рассмотрении миграций дефектов кристаллической структуры эта величина будет иметь столь же фундаментальное значение, что и постоянная Решетки. Поскольку все дефекты приводятся в движение через посредство этой структуры, они могут перемещаться из какого-либо равновесного положения в соседнее не быстрее, чем за время одного колебания. Причем если за каждое характерное время колебаний дефект будет совершать прыжок на длину постоянной Решетки в одном и том же направлении, то он будет двигаться со скоростью света.

Из факта существования в Решетке максимальной частоты колебаний следует существование максимально возможной энергии фотонов, поскольку она связана с частотой через постоянную Планка. Эту энергию можно оценить как

Таким образом, можно прийти к выводу, что при рассмотрении поведения дефектов в Решетке следует считать дискретным не только пространство, но и время.

Как уже упоминалось, каждая частица может передвигаться под воздействием тепловых колебаний Решетки. Этот процесс можно рассматривать как броуновское движение с коэффициентом диффузии D = ћ/2m. Из теории броуновского движения известно, что коэффициент диффузии зависит от температуры среды следующим образом [15]:

где k — постоянная Больцмана^*, τ_f — среднее время жизни флуктуации энергии в среде.

Для определения температуры^* Решетки нам достаточно найти величину τ_f. Она определяется характерным временем колебаний Решетки τ и размером флуктуации, точнее числом охваченных ею узлов N. Флуктуации энергии решетки представляют собой не что иное как различные нестабильные "элементарные" частицы — бозоны (например, мезоны) либо фермионы (когда флуктуации происходят вблизи дефектов Решетки). Их линейные размеры составляют около 10⁻¹³ - 10⁻¹² см. Тогда

где а — постоянная Решетки.

Величина τ_f по порядку величины близка к средним временам жизни многих нестабильных частиц (эти времена колеблются обычно в пределах от 10⁻⁸ до 10⁻¹⁶ с) и к характерному времени слабых взаимодействий (от 10⁻⁸ до 10⁻¹¹ с). В этом случае температуру Решетки можно оценить как

T =

ћ  kτf

~

1,05∙10−27 1,38∙10−16∙10−12

~ 10K .

Полученная оценка температуры Решетки близка к спектральной температуре так называемого "реликтового излучения" — электромагнитного шума Вселенной, которая составляет около 2,7K. Если предположить, что это явление не "эхо" гипотетического "большого взрыва", а одно из проявлений тепловых колебаний Решетки, можно оценить и абсолютную скорость Земли, точнее, Солнечной системы. Известно, что в системе отсчета, связанной с Землей, реликтовое излучение выглядит асимметричным. Исходя из величины асимметрии можно получить значение для абсолютной скорости, равное ~300 км/c. Это эквивалентно одному прыжку дефекта за тысячу колебаний Решетки. Такое соотношение является обычным для движения дефектов в кристаллах. В дальнейшем мы будем считать температуру Решетки равной температуре реликтового излучения.

Теперь можно оценить энергию тепловых (нулевых) колебаний вакуума, приходящуюся на единицу объема пространства — E. Пусть величина постоянной Решетки равна а, тогда объем элементарной ячейки будет иметь порядок a³ а количество узлов Решетки, приходящееся на единицу объема N, можно оценить как a^-3. Поскольку каждый объект, находящийся в узле Решетки, может двигаться в трех измерениях, то вся система объектов в единичном объеме будет иметь 3N степеней свободы. По законам статистической механики на каждую степень свободы при тепловом движении приходится энергия в среднем kT/2, откуда находим:

E =

3 2

NkT ≈

3 2

1 a3

kT ≈

3 2

1 (10−17)3

∙1,38∙10−16∙2,7 ≈ 1035 эрг/см3.

Эта энергия весьма велика (примерно в 10¹⁶ раз превышает энергию, выделяющуюся при расщеплении кубического сантиметра урана-238), но все же не бесконечна, как принято считать в квантовой электродинамике.

Оценим сверху среднюю концентрацию дефектов в Решетке. Рассмотрим некую среду, в которой атомы непосредственно соприкасаются друг с другом. Каждый атом имеет размер около 10⁻⁸ см и занимает объем порядка (10⁻⁸)³ = 10⁻²⁴ см³, охватывая при этом 10⁻²⁴/a³ ≈ 10²⁷ узлов Решетки. Атом состоит самое большее из нескольких сот элементарных частиц, или, как будет показано далее, порядка тысячи элементарных дефектов Решетки. Отсюда находим, что один дефект Решетки будет приходиться на 10²⁷/10³ = 10²⁴ ее узлов. Понятно, что в среднем по Вселенной концентрация дефектов будет гораздо меньше. Подобные расчеты для атомного ядра дают величину 10¹² узлов на дефект Решетки.

Пространство между узлами Решетки "заполнено" некой средой, названной нами Субрешеткой, через посредство которой происходит взаимодействие узельников и формируются их потенциалы. Мы постулируем наличие у Субрешетки кристаллического строения с характерным расстоянием много меньшим постоянной Решетки. В пространственных масштабах Решетки Субрешетка воспринимается как сплошная среда. Скорость распространения взаимодействий по ней должна значительно превосходить скорость света, иначе Решетка потеряла бы целостность. В настоящее время мы имеем мало данных, позволяющих сколько-нибудь надежно оценить параметры Субрешетки, поэтому попытаемся это сделать с помощью экстраполяции.

Скорость распространения звука в кристаллических телах имеет порядок тысячи метров в секунду, скорость света — 3∙10⁸ метров в секунду; предполагая экспоненциальный характер этой зависимости, получаем для Субрешетки величину скорости распространения взаимодействия порядка 10¹⁴ метров в секунду. Постоянная решетки кристаллических тел составляет около 10⁻⁸ см, а характерное время колебаний атомов около 10⁻¹³ с, для Решетки эти величины составляют, по нашим оценкам, 10⁻¹⁷ см и 10⁻²⁷ с соответственно. Тогда, из аналогичной экстраполяции, получим для Субрешетки величины, равные 10⁻²⁶ см и 10⁻⁴¹ с.

Если в Субрешетке существуют образования, подобные фотонам, то их энергия, также, должна быть ограничена сверху некоторым максимальным значением. Если предположить, что величина постоянной Планка для Субрешетки имеет то же значение, что и для Решетки (это возможно, если Решетка и Субрешетка находятся в состоянии теплового равновесия), эта максимальная энергия должна составлять около 10¹⁴ эрг.

Предположим далее, что в состав элементарной ячейки Субрешетки входят два различных объекта, а элементарные дефекты Субрешетки — вакансии и междоузельники — представляют собой различные виды нейтрино и антинейтрино. Так же, как и для Решетки, будем считать нейтрино вакансиями, а антинейтрино — междоузельниками. Обозначим междоузельные дефекты Субрешетки малыми буквами a и b, а соответствующие вакансии — перечеркнутыми буквами a/ и b/, причем символу a поставим в соответствие нейтрино электронного типа, а символу b — мюонного. Вопрос о тау-нейтрино будет обсужден позже. Узельники Решетки представляют собой некоторые сложные дефекты Субрешетки, то есть нейтринные комплексы. Такого набора дефектов (двух кварков, двух нейтрино и соответствующих античастиц) вполне достаточно для построения всех известных к настоящему времени "элементарных" частиц.

Исходя из таких представлений мы можем попытаться оценить значение постоянной Субрешетки, используя величину сечения взаимодействия нейтрино с веществом, которая составляет около 10⁻⁴³ см². Если предположить, что нейтрино не имеют деформационных полей на уровне Решетки, то это сечение будет определяться только квадратом эффективного радиуса самих нейтрино, который, таким образом, должен составлять около 10⁻²¹—10⁻²² см. На уровне же Субрешетки нейтрино представляют собой комплексы, состоящие из точечного дефекта и связанных с ним деформационных полей, следовательно, постоянная Субрешетки не может превысить их радиуса. Если предположить, что в Субрешетке, так же, как в Решетке, поля деформации распространяются примерно на 10⁴ размеров элементарной ячейки, то сделанная нами выше экстраполяционная оценка постоянной Субрешетки (10⁻²⁶ см) будет справедливой.

Мы оставляем открытыми вопросы о том, через посредство чего взаимодействуют объекты Субрешетки и сколько вообще существует таких вложенных уровней.

Дальше

^* Мы предположили, что отношение между температурой и кинетической энергией (постоянная Больцмана) для Решетки такое же, как и в мире ее дефектов.

^* Речь идет об эффективной диффузионной температуре Решетки, которая не поддается непосредственному измерению какими-либо термометрами, поскольку она в таких измерениях является началом отсчета.